z^2 =3a^2 -x^2 -y^2 ,x^2 + y^2 = 2az(a>0)所围成的立体体积

所围成的立体体积=

∫[√（3a^2 -x^2 -y^2）-（x^2 + y^2 ）/ (2a)]dxdy
（注解：积分区域为二曲面交线所围成的圆面）
令x=ycosθ，y=rsinθ.
新的积分区域为D:0≤r≤√2*a,0≤θ≤2π.
所围成的立体体积
=∫[√(3a^2-r＾2)-r＾2/(2a)]*r*drdθ
=[-(1/3)*√(3a^2-r＾2)＾3-r＾4/(8a)]
分别对r,θ代入区域D的上界,下界并相减、
结果:(2√3-5/3)π*a＾3

解：
(1)3a^2 -x^2 -y^2=z^2为以原点为顶点，以根3a为半径的球面；x^2 + y^2 = 2az为以原点为顶点，以Z轴为轴心的凸圆锥面
将两式相加，得z^2+2az-3a^2=0，解得z=a或-3a，此为两面交点的Z方向坐标。因为a>0，所以2az=x^2 + y^2>=0，所以z也需大于0，所以取z=a
将z=a代入x^2 + y^2 = 2az中，得两面交线圆x^2 + y^2 = 2a^2
所围面积分为凸圆锥和球缺两部分
(2)球缺部分
球缺半径r=根3a
高度h=根3a-a=(根3-1)a
由球缺体积公式V=лh^2*(r-h/3)，得V=л[(根3-1)a]^2*[根3a-(根3-1)a/3]=(2*根3-8/3)лa^3
(3)
其中凸圆锥面积S=лR^2=л(x^2 + y^2)=2aлz
凸圆锥高度为z=0到a
所以凸圆锥体体积积分式为:
V=∫S*dz=∫2aлzdz=aлz^2
此式由0积到a，得V=лa^3-0=лa^3
(4)
总体积为(2*根3-8/3)лa^3+лa^3=(2*根3-5/3)лa^3

相加，z2=3a2-2az
z=-3或z=a
x2+y2=2a2或-6a2

使用二重积分即可求解